Question

(本小題滿分12分)  已知函數f(x)＝ (1)作出函數的圖像簡圖，并指出函數的單調區間； （2）若f(2－a²)>f(a)，求實數a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解析：(1) f(x)在(－∞，＋∞)上是單調遞增函數；（2）－2<a<1.

【解析】本試題主要是考查了分段函數的作圖，以及函數的單調性和不等式的求解綜合運用。

（1）利用作出兩端二次函數的圖像得到第一問。

（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調遞增函數

故由f(2－a²)>f(a)得2－a²>a，求解得到參數a的范圍。

解析：(1) 略          ……………………………………………4分

由f(x)的圖象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調遞增函數，……………………7分

（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是單調遞增函數

故由f(2－a²)>f(a)得2－a²>a，即a²＋a－2<0，…………………………………10分

解得－2<a<1.…………………………………………12分

 

20. 【題文】 (本小題滿分13分)

 (1)證明：函數在上是減函數，在[，+∞)上是增函數；

【答案】解： （1）證明：見解析；

（2）當時，方程無解；當方程有一個解；當時，方程有兩個解.

【解析】本試題主要是考查了二次函數的單調性以及函數與方程的綜合運用。

（1）根據但單調性的定義法，設變量，作差，變形定號，下結論。

（2）在第一問的基礎上，結合單調性，得到函數的最值，然后分析得到參數的范圍。

解： （1）證明：設，且

則==

==．………4分

（ⅰ）若，且，，所以，

即．所以函數在區間[，+∞)上單調遞增．………6分

（ⅱ）若，則且，，

所以，即．所以函數在區間[，+∞)上單調遞減．………………………………8分

（2）由（1）知函數在區間（1，)上單調遞減，在區間[，2]上單調遞增

所以的最小值=，的最大值=……………………10分

故當時，方程無解；當方程有一個解；當時，方程有兩個解.………………………………………13分