Question

在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，
且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的最大值．

Answer 1

（1）A=120°；（2）當B=30°時，sinB+sinC取得最大值1．

試題分析：（1）根據正弦定理，設＝2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再與余弦定理聯立方程，可求出cosA的值，進而求出A的值．
（2）根據（1）中A的值，可知c=60°-B，化簡得sin（60°+B）根據三角函數的性質，得出最大值．
試題解析：（1）設=2R
則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC           .2分
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程兩邊同乘以2R
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c               2分
整理得a²=b²+c²+bc                .1分
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA                 1分
故cosA=-，A=120°             2分
（2）由（1）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）         1分
=             2分
故當B=30°時，sinB+sinC取得最大值1       .1分