Question

（2012•東城區二模）已知函數f(x)=-

1

2

x2+2x-aex．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在R上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求出f（1）及f^′（1），利用直線方程的點斜式求出切線方程；
（Ⅱ）由函數若f（x）在R上是增函數，則其導函數在（-∞，+∞）大于等于0恒成立，把參數a分離后利用導數求不等式一邊的最值，則a的范圍可求．

解答：解：（Ⅰ）由a=1，則f(x)=-

1

2

x2+2x-ex，
則f(1)=

3

2

-e，
所以f'（x）=-x+2-e^x．
則f'（1）=1-e，
所以所求切線方程為y-(

3

2

-e)=(1-e)(x-1)，即2（1-e）x-2y+1=0．
（Ⅱ）由已知f(x)=-

1

2

x2+2x-aex，得f'（x）=-x+2-ae^x．
因為函數f（x）在R上是增函數，
所以f'（x）≥0在實數集上恒成立，即不等式-x+2-ae^x≥0恒成立．
整理得a≤

-x+2

ex

．
令g(x)=

-x+2

ex

，g′(x)=

x-3

ex

．
因為e^x＞0，
所以x，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，3）	3	（3，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）		極小值

由此表看出當x=3時函數g（x）有極小值，也就是最小值．
所以a≤g（3）=-e^-3，即a的取值范圍是（-∞，-e^-3]．

點評：本題考查了利用導數研究曲線在某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了分離變量法求參數的取值范圍，是中檔題．