Question

  已知函數(shù)f（x）=（k為常數(shù)，e=2．71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（l,f（l））處的切線與x軸平行．

  （Ⅰ）求k的值；

  （Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

  （Ⅲ）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意0<x<1，g（x）<1 +e^－2

Answer 1

解：（I），

由已知，，∴.

（II）由（I）知，.

設(shè)，則，即在上是減函數(shù).

由知，當(dāng)時(shí)，從而；

當(dāng)時(shí)，從而.

綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.………………（8分）

（III）由（II）可知當(dāng)時(shí)，中的分母＞1，且，

∴.

設(shè)，，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.

所以.

綜上，對(duì)任意，.