Question

在正方體AC₁中，M、N、P分別是棱CC₁、B₁C₁、C₁D₁的中點．求證：面MNP∥面A₁BD．

Answer 1

分析：連接B₁D₁、B₁C，在△B₁C₁C中，利用中位線定理得到MN∥CB₁，再在平行四邊形A₁B₁CD中，A₁D∥CB₁，所以A₁D∥MN，由線面平行的判定定理，可得MN∥平面A₁BD，同理得到PN∥平面A₁BD．最后結合MN、PN是平面MNP內的相交直線，得到平面MNP∥平面A₁BD．

解答：解：連接B₁D₁、B₁C，
∵正方體AC₁中，A₁B₁∥CD且A₁B₁=CD
∴四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，可得A₁D∥CB₁
又∵△B₁C₁C中，M、N分別是CC₁、B₁C₁的中點．
∴MN∥CB₁
∴A₁D∥MN
∵MN?平面A₁BD，A₁D?平面A₁BD，
∴MN∥平面A₁BD．
同理，可得PN∥平面A₁BD．
∵MN、PN是平面MNP內的相交直線
∴平面MNP∥平面A₁BD

點評：本題給出經過正方體三條棱中點的平面，求證該平面與三條面對角線確定的平面平行，著重考查了線面平行的判定與性質，以及平面與平面平行的判定定理等知識，屬于基礎題．