Question

(本題滿分12分)已知橢圓W的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為，過左準(zhǔn)線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點、，點關(guān)于軸的對稱點為.
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）求證： ()；

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析

（Ⅰ）設(shè)橢圓W的方程為，由題意可知
解得，，，
所以橢圓W的方程為．（4分）
（Ⅱ）解法1：因為左準(zhǔn)線方程為，所以點坐標(biāo)為.
于是可設(shè)直線 的方程為．
得.
由直線與橢圓W交于、兩點，可知
，解得．
設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，,
則，，
，．(8分)
因為，，
所以，.
又因為

，
所以．    (12分)
解法2：因為左準(zhǔn)線方程為，所以點坐標(biāo)為.
于是可設(shè)直線的方程為，點，的坐標(biāo)分別為，,
則點的坐標(biāo)為，，．
由橢圓的第二定義可得,
所以，，三點共線，即．(12分)