Question

（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中點．

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

（2）    （3）

解析:

證明：連接，是正方形，∴，又，

∴平面，∴，又，∴平面，

∴

（2）解：在平面中，過點作，垂足為，連接，又過點作，垂足為，則為點到平面的距離，在中，有，∴，

在中，，點到平面的距離為．

解法2：用等體積法，設點到平面的距離為，在中，為直角三角形，由得，∴ ，∴點到平面的距離為．

（3）解：取線段的中點，連接，則，，∴，再取線段的中點，連接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中， ，，取線段的中點，連接，則，在中，，∴，由余弦定理知，

∴二面角的大小為．

空間向量解法：

（1）證明：用基向量法． 設，，，，，，，，

∴，∴，∴，，∴，∴，即，  ∴

（2）解：構建空間直角坐標系，運用向量的坐標運算．

以為原點，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角系．則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，∵， ∴

，

∴，令，則，，得．

，求點到平面的距離

（3）解：設平面的一個法向量為．

 ∵， ∴，，令，則，，得．又設平面的一個法向量為∵，

∴∴，令，則，，得．

，∴二面角的大小為．

或者，的中點的坐標為，，， ，∴，

∴二面角的大小為．