Question

【題目】已知函數．

（1）若是的極值點， 求函數的單調性；

（2）若時，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.

【解析】

（1）求出原函數的導函數，結合 f′（1）＝0求得a＝1，代入導函數，得到f′（x），再由y＝x2+ln x﹣1 在（0，+∞）上單調遞增，且x＝1時y＝0，可得當0＜x＜1 時，f′（x）＜0，f （x）單調遞減；當x＞1 時，f′（x）＞0，f （x）單調遞增；

（2）由 f （x）≤0，得axa≤0，可得a，令g（x），利用二次求導可得其最小值，則a的范圍可求．

（1）

因為是的極值點，

所以，可得．

所以，.

因為在上單調遞增，且時，，

所以時，，，單調遞減；

時， ，，單調遞增．

故在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）由得，

因為，所以.

設，

則.

令，

則，

顯然在內單調遞減，且，

所以時，，單調遞減，

則，即，

所以在內單減，從而.

所以.