Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+

a

2

）-1
（3）首先閱讀材料：對(duì)于函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀∈（x₁，x₂）），使得f（x）在點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當(dāng)x₀=

x1+x2

2

時(shí)，則稱AB存在“中值相依切線”．請(qǐng)問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求得函數(shù)的定義域，根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)化簡(jiǎn)即可得到a與b的關(guān)系式，用a表示出b；然后分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應(yīng)的x的范圍即分別為函數(shù)的遞增和遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）求出函數(shù)f（x）的最大值為g（a），構(gòu)造函數(shù)φ（a）=ln（1+

a

2

）-

a

2

，利用導(dǎo)數(shù) 研究該函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論；
（3）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據(jù)斜率公式求出直線AB的斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=

1

x

-ax+b=0，
∴b=a-1，∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，得-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，
∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，得-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
∴當(dāng)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）證明：g（a）=f（1）=

a

2

-1，f′（x）=-

(ax+1)(x-1)

x

（x＞0），
令φ（a）=ln（1+

a

2

）-

a

2

，則φ′（a）=

-a

2(2+a)

＜0，
∴φ（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴φ（a）＜φ（0）=0，即ln（1+

a

2

）-

a

2

＜0，
（3）假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，
則k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

a(x2+x1)

2

+a-1，
f′（

x2+x1

2

）=

2

x2+x1

-

a(x2+x1)

2

+a-1，
又k_AB=f′（

x2+x1

2

）得

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x2+x1

，
∴l(xiāng)n

x2

x1

=t，（t＞1），則lnt=2-

4

t+1

，（t＞1），此式表示有大于1的實(shí)數(shù)根，
令h（t）=lnt+

4

t+1

-2（t＞1），則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴h（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴h（t）＞h（1）=0，與lnt=2-

4

t+1

，（t＞1）有大于1的實(shí)數(shù)根相矛盾，
∴函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，掌握反證法進(jìn)行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．