Question

已知正方形ABCD的邊長為2,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當a=2時,求證:AO⊥平面BCD.
(2)當二面角A-BD-C的大小為120°時,求二面角A-BC-D的正切值.

Answer 1

(1)見解析   (2)

(1)根據題意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,
所以AC²=AO²+CO²,所以AO⊥CO.
又AO⊥BD,BD∩CO=O,
所以AO⊥平面BCD.
(2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O為原點,OC,OD所在的直線分別為x軸、y軸建立如圖的空間直角坐標系Oxyz,

則有O(0,0,0),D(0,,0),
C(,0,0),B(0,-,0).
設A(x₀,0,z₀)(x₀<0),
則=(x₀,0,z₀),=(0,,0).
平面ABD的一個法向量為n=(z₀,0,-x₀).
平面BCD的一個法向量為m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小為120°,
所以|cos<m,n>|=|cos120°|=,得=3.
因為OA=,所以=.解得x₀=-,z₀=.所以A(-,0,).
平面ABC的一個法向量為l=(1,-1,).
設二面角A-BC-D的平面角為θ,
所以cosθ=|cos<l,m>|=||=.
所以tanθ=.
所以二面角A-BC-D的正切值為.
方法二:折疊后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.
如圖,過點A作CO的垂線交CO延長線于點H,

因為BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因為AH?平面AOC,所以BD⊥AH.
又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.過點A作AK⊥BC,垂足為K,連接HK,因為BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因為HK?平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH為二面角A-BC-D的平面角.
在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.
在Rt△CHK中,HK==,
在Rt△AHK中,tan∠AKH===.
所以二面角A-BC-D的正切值為.