Question

已知定義域為R的函數f（x）=

-2x+a

2x+1

是奇函數．
（1）求實數a的值．
（2）已知不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數奇偶性的性質

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）是R上的奇函數，得f（0）=0，求出a的值；
（2）由f（x）是R上的奇函數且是減函數，把不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0轉化為log_m

3

4

＜log_mm，再討論m的取值，求出不等式成立的m的取值范圍．

解答： 解；（1）∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
令x=0，則f（0）=0，
即

-20+a

20+1

=

a-1

2

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

；
（2）∵f（x）是R上的奇函數，
∴不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0
等價于f（log_m

3

4

）＞-f（-1）=f（1），
又∵f(x)=

1-2x

1+2x

=

-2x-1+2

2x+1

=-1+

2

1+2x

是R上的減函數，
∴l(xiāng)og_m

3

4

＜1=log_mm，
∴當0＜m＜1時，

3

4

＞m，即0＜m＜

3

4

；
當m＞1時，

3

4

＜m，即m＞1；
綜上，m的取值范圍是m∈（0，

3

4

）∪（1，+∞）．

點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性的應用問題，也考查了對數函數的圖象與性質的應用問題，是中檔題．