Question

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面?ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD.

(1)求證:　C₁C⊥BD

(2)當的值為多少時，能使A₁C⊥平面C₁BD？請給出證明.

Answer 1

(1)證明略，(2) =1時，A₁C⊥平面C₁BD.

解析:

(1)證明:　設=, =,,依題意，||=||，、、?中兩兩所成夾角為θ，于是

=－，

=(－)=·－·=||·||cosθ－||·||cosθ=0,∴C₁C⊥BD.

(2)解:若使A₁C⊥平面C₁BD，只須證A₁C⊥BD，A₁C⊥DC₁，

由

=(++)·(－)=||²+·－·－||²

=||²－||²+||·||cosθ－||·||·cosθ=0,得

當|=||時，A₁C⊥DC₁，同理可證當||=||時，A₁C⊥BD，

∴=1時，A₁C⊥平面C₁BD.