Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x•tanθ-1，x∈[-1，

3

]，θ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）當(dāng)θ=-

π

6

時，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-1，

3

]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）將θ的值代入，通過配方求出二次函數(shù)的對稱軸，求出二次函數(shù)的最小值．
（2）通過配方求出二次函數(shù)的對稱軸，據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系，列出不等式，通過解三角不等式求出θ

解答：解：（1）當(dāng)θ=-

π

6

時，f(x)=x2-

2 3

3

x-1=(x-

3

3

)2-

4

3

，
x∈[-1 ， 

3

]，
∴x=

3

3

時，f（x）的最小值為-

4

3

．
x=-1時，f（x）的最大值為

2 3

3

．
（2）函數(shù)f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ圖象的對稱軸為x=-tanθ．
∵y=f（x）在區(qū)間[-1 ， 

3

]上是單調(diào)函數(shù)．
∴-tanθ≤-1或-tanθ≥

3

，
即tanθ≥1或　tanθ≤-

3

，
因此θ的取值范圍是(-

π

2

 ， -

π

3

]∪[

π

4

 ， 

π

2

)．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的最值的求法、考查二次函數(shù)的單調(diào)性：在對稱軸處分成兩個單調(diào)區(qū)間．