Question

【題目】在直角坐標(biāo)系x0y中，把曲線α為參數(shù))上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線以坐標(biāo)原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程

（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點M在上，點N在上，求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為. （2）最小值為，此時

【解析】

（1）由的參數(shù)方程消去求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得的直角坐標(biāo)方程.

（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式求得最小值的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小值以及此時點的坐標(biāo).

（1）由題意知的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

所以的普通方程為.由得，所以的直角坐標(biāo)方程為.

（2）由題意，可設(shè)點的直角坐標(biāo)為，

因為是直線，所以的最小值即為到的距離，

因為．

當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為，此時的直角坐標(biāo)為即．