Question

如圖，△ABC的外接圓⊙O的半徑為，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，．
（1）求證：平面ADC⊥平面BCDE；
（2）求幾何體ABCDE的體積；
（3）試問線段DE上是否存在點M，使得直線AM與平面ACD所成角的正弦值為？若存在，確定點M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，易得BE⊥平面ABC，則BE⊥AB，由BE=1，，易得AB是⊙O的直徑，則AC⊥BC由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；
（2）由（1）中結論，可得AC⊥平面BCDE，求出平面BCDE的面積和AC的長，代入棱錐體積公式，即可求出幾何體ABCDE的體積；
（3）方法一：過點M作MN⊥CD于N，連接AN，作MF⊥CB于F，連接AF，可得∠MAN為MA與平面ACD所成的角，設MN=x，則由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為，我們可以構造關于x的方程，解方程即可求出x值，進而得到點M的位置．
方法二：建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz，求出平面ABC的法向量和直線AM的方向向量（含參數λ），由直線AM與平面ACD所成角的正弦值為，根據向量夾角公式，我們可以構造關于λ的方程，解方程即可得到λ值，進而得到點M的位置．
解答：解：（1）∵CD⊥平面ABC，BE∥CD
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB       …（1分）
∴
∵BE=1∴，
從而…（2分）
∵⊙O的半徑為，
∴AB是直徑，∴AC⊥BC…（3分）
又∵CD⊥平面ABC，
∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD
∵BC?平面BCDE，
∴平面ADC⊥平面BCDE      …（5分）
（2）由（1）知：，…（6分）
=…（9分）
（3）方法一：
假設點M存在，過點M作MN⊥CD于N，連接AN，作MF⊥CB于F，連接AF
∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，
∴∠MAN為MA與平面ACD所成的角                              …（10分）
設MN=x，計算易得，DN=，MF=…（11分）
故…（12分）
解得：（舍去） ，…（13分）
故，從而滿足條件的點M存在，且…（14分）
方法二：建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz，則：
A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0）
則…（10分）
易知平面ABC的法向量為，
假設M點存在，設M（a，b，c），則，
再設∴，
即M（0，2λ，4-3λ），從而
…（11分）
設直線BM與平面ABD所成的角為θ，
則：…（12分）
解得，…（13分）
其中應舍去，而
故滿足條件的點M存在，且點M的坐標為…（14分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得CD⊥平面ABC，（2）的關鍵是得到幾何體是一個以AC為高，以BCDE為底面的四棱錐，（3）的關鍵是直線AM與平面ACD所成角的正弦值為，構造滿足條件的方程．