Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位,已知直線 的參數方程為 （t為參數， ），曲線C的極坐標方程為．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程。
（Ⅱ）設直線 與曲線C相交于A，B兩點，當a變化時，求 的最小值

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）4

解析試題分析：（Ⅰ）將兩邊乘以得，，將代入上式得曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）將將直線的參數方程代入曲線C的普通方程中，整理關于t的二次方程，設M，N兩點對應的參數分別為，利用一元二次方程根與系數將，用表示出來，利用直線參數方程中參數t的幾何意義得，|AB|=，再轉化為關于與的函數，利用前面，關于的表示式，將上述函數化為關于的函數，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．
試題解析：（Ⅰ）由,得 
所以曲線C的直角坐標方程為         （4分）
（Ⅱ）將直線l的參數方程代入,得 
設A、B兩點對應的參數分別為t₁、t₂,則
t₁+t₂=,t₁t₂=, 
∴|AB|=|t₁-t₂|==, 
當時,|AB|的最小值為4           （10分）
考點： 極坐標方程與直角坐標互化，直線與拋物線的位置關系，直線的參數方程中參數t的幾何意義，設而不求思想