Question

如圖，設(shè)線段EF的長度為1，端點E、F在邊長為2的正方形ABCD的四邊上滑動．當E、F沿著正方形的四邊滑動一周時，EF的中點M所形成的軌跡為G，若G圍成的面積為S，則S=

 

．

Answer 1

分析：以A為原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，求出G在A角處的軌跡，從而得到G的軌跡圍成的圖形是正方形挖去四個四分之一圓周，由正方形的面積減去圓的面積得答案．

解答：解：假設(shè)正方形的拐角的點A為坐標原點（0，0），
再設(shè)點E的坐標是（x′，0），點F（0，y′），中點M（x，y）
則x=

x′

2

，y=

y′

2

，即x′=2x，y′=2y．
因為EF距離為1，即（x′）²+（y′）²=1
把x′=2x，y′=2y代入之后，得到x2+y2=

1

4

．
∵x′在0到1，∴畫出圖象只有一段圓弧．
這段圓弧位于圓心在（0，0），半徑為

1

2

的圓上，而且是圓周長的

1

4

．
∴四部分的圓弧加起來就是整個圓了．
面積為π×(

1

2

)2=

π

4

．
∴G圍成的面積為S等于正方形的面積減去

π

4

．即為4-

π

4

．
故答案為：4-

π

4

．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了封閉曲線面積的求法，關(guān)鍵是求出正方形四個角處的G的軌跡，是中檔題．