Question

現在市面上有普通型汽車（以汽油為燃料）和電動型汽車兩種．某品牌普通型汽車車價為12萬元，第一年汽油的消費為6000元，隨著汽油價格的不斷上升，汽油的消費每年以20%的速度增長．其它費用（保險及維修費用等）第一年為5000元，以后每年遞增2000元．而電動汽車由于節能環保，越來越受到社會認可．某品牌電動車在某市上市，車價為25萬元，購買時一次性享受國家補貼價6萬元和該市市政府補貼價4萬元．電動汽車動力不靠燃油，而靠電池．電動車使用的普通鋰電池平均使用壽命大約兩年（也即兩年需更換電池一次），電池價格為1萬元，電動汽車的其它費用每年約為5000元．
（1）求使用n年，普通型汽車的總耗資費S_n（萬元）的表達式（總耗資費=車價+汽油費+其它費用）；
（2）比較兩種汽車各使用10年的總耗資費用．（參考數據：1.2⁴≈2.11.2⁵≈2.51.2⁹≈5.21.2¹⁰≈6.2）

Answer 1

分析：（1）依題意，普通型每年的汽油費用為一個首項為0.6萬元，公比為1.2的等比數列，其它費用為一個首項為0.5萬元，公差為0.2萬元的等差數列，故可求使用n年普通型汽車的總耗資費；
（2）由（1）知 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9，求出普通型汽車10年總耗資費、電動型汽車使用10年的總耗資費用，即可得出結論．

解答：解：（1）依題意，普通型每年的汽油費用為一個首項為0.6萬元，公比為1.2的等比數列
∴使用n年，汽油費用共計0.6(1+1.2+1.22+…+1.2n-1)=

0.6(1-1.2n)

1-1.2

=3(1.2n-1)
其它費用為一個首項為0.5萬元，公差為0.2萬元的等差數列，故使用n年其它費用共計0.5+(0.5+0.2)+…[0.5+0.2(n-1)]=0.5n+

n(n-1)

2

×0.2=0.1n2+0.4n
∴Sn=12+3×1.2n-3+0.1n2+0.4n=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9（萬元）
（2）由（1）知 Sn=3×1.2n+0.1n2+0.4n+9
∴S10=3×1．210+0.1×102+0.4×10+9≈3×6.2+10+13=41.6（萬元）
又設T₁₀為電動型汽車使用10年的總耗資費用，則 T10=25-6-4+

10

2

×1+0.5×10=25（萬元）
∵41.6-25=16.6（萬元）
∴使用10年，普通型汽車比電動型汽車多花費16.6萬元

點評：本題考查函數模型的構建，考查數列知識，解題的關鍵是構建數列模型，利用數列知識求解．