Question

如圖，長方體AC₁中，AB＝2，BC＝AA₁＝1.E、F、G分別為棱DD₁、D₁C₁、BC的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)在底面A₁D₁上有一個靠近D₁的四等分點H，求證： EH∥平面FGB₁；
(3)求四面體EFGB₁的體積．

Answer 1

(1),,(2) 取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，連結DP、EH，則DP∥B₁G，EH∥DP，∴EH∥B₁G ∴EH∥平面FGB₁ (3)

解析試題分析：（1）   
(2)取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，連結DP、EH，則DP∥B₁G，EH∥DP，
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁.
即H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁時，EH∥平面FGB₁.
(3)∵EH∥平面FGB₁，∴VE—FGB₁＝VH—FGB₁，
而VH—FGB₁＝VG—HFB₁＝×1×S△HFB₁，
S_△HFB₁＝S梯形B₁C₁D₁H－S△B₁C₁F－S△D₁HF＝，
∴V四面體EFGB₁＝VE—FGB₁＝VH—FGB₁＝×1×＝.
考點：線面面面垂直平行的判定及錐體體積求解
點評：本題還可用空間向量的方法證明計算，思路簡單