Question

已知橢圓的中心為原點，離心率，其一個焦點在拋物線的準線上，若拋物線與直線相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）當點在橢圓上運動時，設動點的運動軌跡為．若點滿足：，其中是上的點，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）
（2）存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標為．

試題分析：（1）根據拋物線與直線相切，聯立方程組并化簡， 利用，求得的值，進一步可得；
應用離心率求，得解.
（2）設，，，利用“代入法”求得的軌跡方程為：.
由及確定的坐標關系，
導出，作出判斷.
試題解析：
（1）由，
拋物線與直線相切，
                     2分
拋物線的方程為：，其準線方程為：，
離心率，，
故橢圓的標準方程為                      5分
（2）設，，
則
當點在橢圓上運動時，動點的運動軌跡

的軌跡方程為：                      7分
由得

設分別為直線，的斜率，由題設條件知
因此                9分
因為點在橢圓上，
所以，
故

所以，從而可知：點是橢圓上的點，
存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標為．                         13分