Question

設G為△ABC的重心，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若35a

GA

+21b

GB

+15c

GC

=0，則sin∠ACB=

3

2

．

Answer 1

分析：由G為三角形ABC重心，得到

GA

+

GB

+

GC

=0，表示出

GC

，代入已知等式中，整理后利用平面向量基本定理用c表示出a與b，設出c，得到a與b，根據余弦定理表示出cos∠ACB，將三邊長代入求出cos∠ACB的值，利用同角三角函數間的基本關系即可求出sin∠ACB的值．

解答：解：∵G為△ABC的重心，
∴

GA

+

GB

+

GC

=0，即

GC

=-

GA

-

GB

，
代入已知等式整理得：（35a-15c）

GA

+（21b-15c）

GB

=0，
∵

GA

，

GB

不共線，
∴由平面向量基本定理得：35a-15c=0，21b-15c=0，
即a=

3

7

c，b=

5

7

c，令c=7t，則a=3t，b=5t，
根據余弦定理得：cos∠ACB=

a2+b2-c2

2ab

=

9t2+25t2-49t2

30t2

=-

1

2

，
∵∠ACB為三角形內角，
∴sin∠ACB=

1-cos2∠ACB

=

3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量基本定理，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．