Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試構造一個數列{b_n}，（寫出{b_n}的一個通項公式）滿足：對任意的正整數n都有b_n＜a_n，且

lim

n→∞

an

bn

=2，并說明理由；
（3）設各項均不為零的數列{c_n}中，所有滿足c_i-c_i+1＜0的正整數i的個數稱為這個數列{c_n}的變號數．令c_n=1-

a

an

（n為正整數），求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）≤0的解集有且只有一個元素判斷△等于0，求得a，則函數解析式可得，進而求得S_n．
（2）構造數列b_n=n-k，任意的正整數n都有b_n＜a_n，則當n≥2時，n-k＜2n-5恒成立，求得k的范圍，進而根據b_n≠0，k∉N^*，求得b_n．
（3）把（1）中求得的a_n代入c_n=1-

a

an

中求得C_n，通過C_n+1-C_n＞0判斷數列{c_n}遞增，進而根據a₄=-

1

3

＜0，1-

4

2n-5

＞0n≥5，可知a₄-a₅＜0，求得n≥3時，有且只有1個變號數；進而根據C₁-C₂＜0，C₂-C₃＜0，判斷n≤2時變號數有2個，最后綜合答案可得．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，∴△=a²-4a=0
∴a=0或4，
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∝）上遞增，故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
a_n=S_n-S_n-1=

1，n=1 2n-5，n≥2

綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，∴S_n=n²-4n+4
（2）要使

lim

n→∞

an

bn

=2，，可構造數列b_n=n-k，
∵對任意的正整數n都有b_n＜a_n，
∴當n≥2時，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2
∴k＞3，
又b_n≠0，∴k∉N^*，∴b_n=n-

3

2

，．
（3）由題設C_n=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

，
∵n≥3時，C_n+1-C_n=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3時，數列{c_n}遞增，
∵a₄=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0
n≥5，可知a₄-a₅＜0，即n≥3時，有且只有1個變號數；
又∵C₁=-3，C₂=-5，C₃=-3，即C₁-C₂＜0，C₂-C₃＜0，∴此處變號數有2個．
綜上得數列共有3個變號數，即變號數為3．

點評：本題主要考查了數列的遞推式．遞推式是數列中重要的內容，通過遞推關系，觀察，探求數列的規律，進而可求出整個數列的通項公式．通過遞推關系的學習，可以培養學生的觀察能力，歸納與轉化能力，綜合運用知識等能力，因此，是近幾年高考與競賽的熱點．