Question

我校數學老師這學期分別用A，B兩種不同的教學方式試驗高一甲、乙兩個班（人數均為60人，入學數學平均分數和優秀率都相同，勤奮程度和自覺性都一樣）．現隨機抽取甲、乙兩班各20名的數學期末考試成績，得到莖葉圖：
（1）依莖葉圖判斷哪個班的平均分高？
（2）現從甲班數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為86分的同學至少有一個被抽中的概率；
（3）學校規定：成績不低于85分的為優秀，請填寫下面的2×2列聯表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成績優秀與教學方式有關？”

	甲班	乙班	合計
優秀
不優秀
合計

下面臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析：（1）依據莖葉圖，確定甲、乙班數學成績集中的范圍，即可得到結論；
（2）利用列舉法，確定基本事件的個數，利用古典概型的概率公式，即可得到結論；
（3）根據成績不低于85分的為優秀，可得2×2列聯表，計算K²，從而與臨界值比較，即可得到結論．

解答：解：（1）甲班數學成績集中于60-90分之間，而乙班數學成績集中于80-100分之間，所以乙班的平均分高----------------------------------------（3分）
（2）記成績為86分的同學為A，B，其他不低于80分的同學為C，D，E，F
“從甲班數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學”的一切可能結果組成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（A，F）（B，C）（B，D）（B，E）（B，F）（C，D）（C，E）（C，F）（D，E）（D，F）（E，F）一共15個，
“抽到至少有一個86分的同學”所組成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（A，F）（B，C）（B，D）（B，E）（B，F）共9個，---------（6分）
故P=

9

15

=

3

5

------------------------------------------------------（7分）
（3）

	甲班	乙班	合計
優秀	3	10	13
不優秀	17	10	27
合計	20	20	40

--------------------------（9分）
∴K²=

40×(3×10-10×17)2

13×27×20×20

≈5.584＞5.024，
因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下可以認為成績優秀與教學方式有關．-----------------------（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．