Question

（2009•江蘇一模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足an+Sn=3-

8

2n

，設bn=2n•an．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n•b_n}中最大項；
（3）求證：對于給定的實數λ，一定存在正整數k，使得當n≥k時，不等式λS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

分析：（1）利用遞推關系，再寫一式，兩式相減，可得2nan-2n-1an-1=4，利用bn=2n•an，即可證明數列{b_n}是等差數列，從而求出數列{a_n}的通項公式；
（2）確定數列{a_n•b_n}的通項，從而可得數列的單調性，即可求最大項；
（3）利用錯位相減法求數列的和，確定相應的值域，即可證得結論．

解答：（1）證明：∵an+Sn=3-

8

2n

，
∴n≥2時，an-1+Sn-1=3-

8

2n-1

兩式相減可得2an-an-1=

8

2n-1

-

8

2n

∴2an-an-1=

4

2n-1

∴2nan-2n-1an-1=4
∵bn=2n•an
∴b_n-b_n-1=4
∵n=1時，a1+S1=3-

8

21

，∴a1=-

1

2

∴b1=21•a1=-1
∴數列{b_n}是以-1為首項，4為公差的等差數列
∴bn=4n-5，an=

4n-5

2n

，
（2）解：a_n•b_n=

(4n-5)2

2n

令f（n）=

(4n-5)2

2n

，則

f(n+1)

f(n)

=

(4n-1)2

2(4n-5)2

令

(4n-1)2

2(4n-5)2

＜1，則16n²-72n+49＞0
∴n＞5時，

f(n+1)

f(n)

＜1，n＜5時，

f(n+1)

f(n)

＞1
∴數列從第一項到第四項，單調遞增，從第五項開始，單調遞減
所以最大項是第四項

121

16

；
（3）證明：∵an=

4n-5

2n

∴數列{a_n}的前n項和為S_n=(-1)×

1

2

+3×

1

22

+…+(4n-5)×

1

2n

∴

1

2

S_n=(-1)×

1

22

+…+(4n-9)×

1

2n

+(4n-5)×

1

2n+1

兩式相減可得

1

2

S_n=(-1)×

1

2

+4×

1

22

+…+4×

1

2n

-(4n-5)×

1

2n+1

∴S_n=3-(4n+3)×

1

2n

∴S₁=-

1

2

∴S_n的值域[-

1

2

，3），
∵b_n=4n-5，∴b_n的值域[-1，+∞），
∴對于給定的實數λ，一定存在正整數k，使得當n≥k時，不等式λS_n＜b_n恒成立．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查數列的單調性，考查學生分析解決問題的能力，能力要求強，有難度．