Question

【題目】已知函數f(x)＝ (a∈R)．

(Ⅰ)若a＝1，求曲線f(x)在點(e，f(e))處的切線方程；

(Ⅱ)求f(x)的極值；

(Ⅲ)若函數f(x)的圖象與函數g(x)＝1的圖象在區間(0，e2]上有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x＋e2y－3e＝0 (2) a≥1.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由切點坐標，根據導數的幾何意義，求出該點的導數值，即得曲線在此點處的切線的斜率，然后用點斜式寫出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數的導函數，令導數大于0解出增區間，令導數小于0，解出函數的減區間，然后由極值判斷規則確定出極值即可；

（Ⅲ）若函數的圖象與函數的圖象在區間上有公共點，即在區間上，函數存在自變量取某個值時，函數值等于1，故問題可以轉化為求出函數最值，保證函數的最大值大于等于1，最小值小于等于1，即可得到關于參數的不等式，解之即得．

試題解析：(Ⅰ) a＝1， 且

又∵

∴

∴f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為： ，即x＋e2y－3e＝0.

(Ⅱ)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

令f′(x)＝0得x＝e1－a.

當x∈(0，e1－a)時，f′(x)>0，f(x)是增函數；

當x∈(e1－a，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)是減函數；

f(x)在x＝e1－a處取得極大值，

即f(x)極大值＝f(e1－a)＝ea－1

(Ⅲ)(i)當e1－a<e2，即a>－1時，

由(Ⅱ)知f(x)在(0，e1－a)上是增函數，

在(e1－a，e2]上是減函數，

當x＝e1－a時，f(x)取得最大值，

即f(x)max＝ea－1.

又當x＝e－a時，f(x)＝0，

當x∈(0，e－a]時，f(x)<0，

當x∈(e－a，e2]時，f(x)∈(0，ea－1]，

所以，f(x)的圖象與g(x)＝1的圖象在(0，e2]上有公共點，

等價于ea－1≥1，解得a≥1，

又因為a>－1，所以a≥1.

(ii)當e1－a≥e2，即a≤－1時，f(x)在(0，e2]上是增函數，

f(x)在(0，e2]上的最大值為f(e2)＝，

原問題等價于≥1，解得a≥e2－2，

又a≤－1　 無解

綜上，a的取值范圍是a≥1.