Question

已知

a

，

b

是兩個互相垂直的單位向量，且

c

•

a

=

c

•

b

=1，則對任意的正實數t，|

c

+t

a

+

1

t

b

|的最小值是（　　）

• A、2
• B、2

  2

• C、4
• D、4

  2

Answer 1

分析：利用

a

•

b

=0，|

a

|=|

b

|=1，

c

•

a

=

c

•

b

=1．建立如圖所示的直角坐標系，取

a

=(1，0)，

b

=(0，1)．
設

c

=(x，y)，可得（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．即可得到

c

=(1，1)．再利用數量積的性質、基本不等式即可得出．

解答：解：∵

a

•

b

=0，|

a

|=|

b

|=1，

c

•

a

=

c

•

b

=1．
建立如圖所示的直角坐標系，取

a

=(1，0)，

b

=(0，1)．
設

c

=(x，y)，
∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．
∴x=y=1．∴

c

=(1，1)．
∴|

c

|=

2

．
∵t＞0．
∴|

c

+t

a

+

1

t

b

|=

c 2+t2 a 2+ 1 t2 b 2+2t a • c + 2 t b • c +2 a • b

=

2+2(t+ 1 t )+t2+ 1 t2

≥

2+4+2

=2

2

，當且僅當t=1時取等號．
故選：B．

點評：本題考查了向量的運算法則和數量積的性質、基本不等式，屬于中檔題．