Question

（本小題滿分12分）

已知F1、F2分別是雙曲線x2-y2＝1的兩個焦點，O為坐標原點，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y＝kx+b  (b>0)與圓O相切，并與雙曲線相交于A、B兩點.

（1）根據條件求出b和k滿足的關系式；

（2）向量在向量方向的投影是p，當(×)p2＝1時，求直線l的方程；

（3）當(×)p2=m且滿足2≤m≤4時，求DAOB面積的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）b2=2(k2+1)  (k¹±1,b>0)

（2）y=±x+

（3）[3]

【解析】解：（1）b和k滿足的關系式為b2=2(k2+1)  (k¹±1,b>0)   …………3分

（2）設A(x1,y1) B(x2,y2)，則由消去y

得(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0，其中k2¹1         …………4分

∴×=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2= + + 2(k2+1)

由于向量方向上的投影是p

∴p2=cos2<,>=               …………6分

∴(×)×p2= + +2=1Þk=±

∵b2= 2(k2+1)  (k¹±1,b>0)， 故b= ，經檢驗適合D＞0

∴直線l的方程為y=±x+               …………8分

（3）類似于（Ⅱ）可得+ +2=m

∴k2=1+ ， b2=4+ 根據弦長公式

得  …………10分

則SDAOB= |AB|×=

而mÎ[2,4]，∴DAOB的面積的取值范圍是[3]  …………12分