Question

如圖所示，在三棱錐A—BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面ABC是正三角形.

(1)當正視圖方向與向量的方向相同時，畫出三棱錐A—BCD的三視圖;(要求標出尺寸)
(2)求二面角B—AC—D的余弦值;
(3)在線段AC上是否存在一點E，使ED與平面BCD成30°角？ 若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）存在且

解析試題分析：(1)畫三視圖時要注意：正視圖看到的是幾何體的長和高，側(cè)視圖看到的是幾何體的寬和高，俯視圖看到的是幾何體的長和寬,同時要想象自己身處教室，前面、右面、地面有墻，將幾何體正投影到這三個方向；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，需選擇兩兩垂直的三條直線，然后把涉及到的點用坐標表示，如圖所示建立坐標系，則，求出面和面的法向量，然后求法向量的夾角，進而求出二面角的余弦值；（3）利用空間直角坐標系求直線和平面所成的角，先求平面的法向量和直線方向向量夾角的余弦值，即直線和平面所成角的正弦值，該題利用三點共線，可設(shè)出點，然后計算和平面法向量，根據(jù)它們夾角余弦值等于列式，求.
試題解析：(1) 三棱錐A—BCD的三視圖如右圖所示：

(2)以為坐標原點，分別以和過點垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則設(shè)平面ABC的法向量為，，則
且，∴，令則，則，同理，可求得平面ACD的一個法向量為，所以=.所以二面角B—AC—D的余弦值；

（3）設(shè)，由，得，面的一個法向量，，所以，解得，所以存在，即時，ED與平面BCD成30°角.
考點：1、三視圖；2、二面角的求法；3、直線和平面所成的角.