Question

已知數列的前項和滿足.
（1）寫出數列的前三項；
（2）求數列的通項公式；
（3）證明：對任意的整數，有.

Answer 1

（１）　由由
由
（２）
（３）見解析.

.
（1）因為數列的前項和滿足，那么對于n令值，邊可以寫出數列的前三項；
（2）根據前幾項歸納猜想數列的通項公式；再用數學歸納法加以證明。或者里利用迭代思想，得到通項公式。
（3）利用放縮法得到求和，并證明不等式。
（１）為了計算前三項的值，只要在遞推式中，對取特殊值，就可以消除解題目標與題設條件之間的差異．
　由
由
由
（２）為了求出通項公式，應先消除條件式中的．事實上
當時，有
 
即有　
從而　
　　　
…… 

接下來，逐步迭代就有


經驗證a₁也滿足上式，故知
其實，將關系式和課本習題作聯系，容易想到：這種差異的消除，只要對的兩邊同除以，便得
　　　　　　　　　．
令就有
，
于是        ，
這說明數列是等比數列，公比　首項，從而，得
　　　　　，
即　　　　，
故有
（３）由通項公式得
當且n為奇數時， 

當為偶數時，


當為奇數時，為偶數，可以轉化為上面的情景

故任意整數m>4，有