Question

【題目】如圖，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．側棱長為5，平面ABCD⊥平面A1ACC1 ， AB=3 ，∠BAD=60°，點E是△ABD的重心，且A1E=4．
（1）求證：平面A1DC1∥平面AB1C；
（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為AA1平行等于CC1，所以四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以A1C1∥AC．

又因為AD平行等于B1C1，所以四邊形ADC1B1是平行四邊形，所以AB1∥DC1．

因為AC，AB1平面A1DC1，A1C1，DC1平面A1DC1，

所以AC∥平面A1DC1，AB1∥平面A1DC1，又因為AC∩AB1=A，AC，AB1平面AB1C，

所以平面A1DC1∥平面AB1C

（2）解：（2）設AC∩BD=O，由題意可知△ABD是等邊三角形．

因為 ，所以 ，

所以 ，所以 ，所以A1E⊥AC，

又因為平面ABCD⊥平面A1ACC1，平面ABCD∩平面A1ACC1=AC，A1E平面A1ACC1，所以A1E⊥平面ABCD．

以E為原點，分別以AC，A1E所在直線為x，z軸，以過點E與BD平行的直線為y軸建立空間直角坐標系，

則 ．設B1（x1，y1，z1）．

因為 ， ， ，所以 ．

由A1E⊥平面ABCD，可知平面ABCD的法向量是 ．

設平面B1AC的法向量是 ，而 ， ．

由 ，所以 ．

所以 ．

取平面B1AC的法向量 ，所以 ．

故二面角B1﹣AC﹣B的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出四邊形A1ACC1是平行四邊形，從而A1C1∥AC．進而四邊形ADC1B1是平行四邊形，從而AB1∥DC1 ， 進而AC∥平面A1DC1 ， AB1∥平面A1DC1 ， 由此能證明平面A1DC1∥平面AB1C．（2）設AC∩BD=O，推導出A1E⊥AC，從而A1E⊥平面ABCD．以E為原點，分別以AC，A1E所在直線為x，z軸，以過點E與BD平行的直線為y軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．
【考點精析】掌握平面與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行．