Question

【題目】設函數，

（1）當為自然對數的底數時，求的極小值；

（2）討論函數零點的個數；

（3）若對任意，恒成立，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）當時，函數無零點；當或時，函數有且只有一個零點；當時，函數有兩個零點；（3），．

【解析】

（1）時，，利用判定的增減性并求出的極小值；

（2）由函數，令，求出；設，求出的值域，討論的取值，對應的零點情況；

（3）由，恒成立，等價于恒成立，即在上單調遞減；，求出的取值范圍．

解：（1）當時，，

；

當時，，在上是減函數；

當時，，在上是增函數；

時，取得極小值為；

（2）函數，

令，得；

設，

；

當時，，在上是增函數，

當時，，在上是減函數；

是的極值點，且是極大值點，

是的最大值點，

的最大值為（1）；

又，結合的圖象，如圖；

可知：①當時，函數無零點；

②當時，函數有且只有一個零點；

③當時，函數有兩個零點；

④當時，函數有且只有一個零點；

綜上，當時，函數無零點；

當或時，函數有且只有一個零點；

當時，函數有兩個零點；

（3）對任意，恒成立，

等價于恒成立；

設，

則．

在上單調遞減；

在上恒成立，

，

；

對于，僅在時成立；

的取值范圍是，．