Question

【題目】已知點F為拋物線E:的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|=3
．
（1）求拋物線E的方程；
（2）已知點G(-1，0) ， 延長AF交拋物線E于點B ， 證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

詳見解析

【解析】解法一：（1）由拋物線的定義得|AF|=2+.因為|AF|=3，即2+=3，解得p=2，所以拋物線E的方程為=4x。
（2）因為點A(2，m)在拋物線E：=4x上，所以m=，由拋物線的對稱性，不妨設A(2，). 由A(2，)，F(1，0)得直線AF的方程式為y=（x-1）。 由,得, 解得x=2或x=，從而B(,-),又G(-1，0)，所以，所以+=0，從而AGF=BGF,這表明點F到直線GA,GB的距離相等。故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切。
解法二：（1）同解法一。
（2）設以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r。 因為點A(2，m)在拋物線E：=4x上，所以m=，由拋物線的對稱性，不妨設A(2，). 由A(2，)，F(1，0)得直線AF的方程式為y=（x-1）。 由,得, 解得x=2或x=，從而B(,-)，又G(-1，0)，故直線GA的方程式為，從而，又GB的方程式為，所以點F到直線,GB的距離，這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切。