Question

（本小題滿分12分）

設定義在區間上的函數的圖象為，是上的任意一點，為坐標原點，設向量=，，，當實數λ滿足x="λ" x₁+(1－λ) x₂時，記向量=λ+(1－λ)．定義“函數在區間上可在標準下線性近似”是指 “恒成立”，其中是一個確定的正數．

（1）求證：三點共線;

（2）設函數在區間[0，1]上可在標準下線性近似，求的取值范圍；

（3）求證：函數在區間上可在標準下線性近似.

（參考數據：=2.718，）

 

Answer 1

【答案】

（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三點共線。

（2）k的取值范圍是．（3）見解析。

【解析】

試題分析：（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，所以B，N，A三點共線。  ………… 2分

（2）由x="λ" x₁+(1－λ) x₂與向量=λ+(1－λ)，得N與M的橫坐標相同．…4分

對于 [0，1]上的函數y=x²，A(0，0)，B(1，1)， 則，故；

所以k的取值范圍是．                     ……………………………………………  6分

（3）對于上的函數，A()，B()，    

則直線AB的方程，        ………………………………………………8分

令，其中，于是， …10分

列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		減	0

則，且在處取得最大值，

又0.123，從而命題成立． …………………………………12分

考點：本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值；函數恒成立問題；向量的共線定理．

點評：本題是在新定義下考查向量共線知識以及利用導數求閉區間上函數的最值，是對知識的綜合考查，屬于難題．理解定義是關鍵．