Question

【題目】對于函數、、，如果存在實數使得，那么稱為、的和諧函數．

（1）已知函數，，，試判斷是否為、的和諧函數？并說明理由；

（2）已知為函數，的和諧函數，其中，若方程在上有解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是、的和諧函數（2）

【解析】

試題分析：（1）h（x）是、的和諧函數，存在a=-1，b=1，設，利用新定義判斷即可．（2）解法一：方程在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+tlog3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，設m=log3x，x∈[3，9]，則m∈[1，2]，原問題可以轉化關于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通過g（1）g（2）≤0，求解即可．解法二：log3（9x）+tlog3（3x）=0，化簡得：2+log3x+t（1+log3x）=0，原式可轉化為方程在x∈[3，9]區間上有解，即求函數在x∈[3，9]的值域，通過分離常數法，求解即可

試題解析：(1) 是、的生成函數，因為存在

使

設，則，

所以，

所以是、的和諧函數.

(2) 解法一：依題意，由方程在上有解，即在上有解，

化簡得：

設，， 則，即

原問題可以轉化關于的方程在上有解，

令

由題意得：， 解得.

綜上：

(2) 解法二：，化簡得：

因為，所以，

原式可轉化為方程 在區間上有解

即求函數在的值域

令，因為

由反比例函數性質可得 ，函數的值域為

所以實數的取值范圍