Question

【題目】【2017銀川一中高考模擬文】一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N。

(1)請將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；

(2)證明：直線MN∥平面BDH；

(3)過點(diǎn)M，N，H的平面將正方體分割為兩部分，求這兩部分的體積比．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析. (3) 3∶1

【解析】 (1)點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示．

(2)證明：連接BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OM，OH，AC，BH，MN。

∵M(jìn)，N分別是BC，GH的中點(diǎn)，

∴OM∥CD，且OM＝CD，NH∥CD，且NH＝CD，

∴OM∥NH，OM＝NH，則四邊形MNHO是平行四邊形，∴MN∥OH，

又∵M(jìn)N平面BDH，OH平面BDH，∴MN∥平面BDH。

(3)由(2)知OM∥NH，OM＝NH，連接GM，MH，過點(diǎn)M，N，H的平面就是平面GMH，它將正方體分割為兩個(gè)同高的棱柱，高都是GH，底面分別是四邊形BMGF和三角形MGC，

體積比等于底面積之比，即3∶1。