Question

已知命題p：當x∈R時，不等式x²-2x+m＞0恒成立；命題q：方程x²-my²=1表示雙曲線．若命題p和命題q中有且只有一個是真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：分別判定命題p，q為真命題時的等價條件，然后利用命題p和命題q中有且只有一個是真命題，確定m的取值范圍．

解答：解：要使不等式x²-2x+m＞0恒成立，則△=4-4m＜0，即m＞1．即p：m＞1．
方程x²-my²=1表示雙曲線，則m＞0，即q：m＞0．
因為命題p和命題q中有且只有一個是真命題，
所以若p真q假，則

m＞1 m≤0

，此時不等式組無解．
若p假q真，則

m≤1 m＞0

，即0＜m≤1．
綜上實數m的取值范圍0＜m≤1．

點評：本題主要考查命題真假的應用，要求熟練掌握二次不等式恒成立的等價條件以及雙曲線的方程特點．