Question

已知兩不共線向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），則下列說法不正確的是（　　）

• A、（a+b）⊥（a-b）
• B、a與b的夾角等于α-β
• C、|a+b|+|a-b|＞2
• D、a與b在a+b方向上的投影相等

Answer 1

分析：根據向量數量積的坐標運算法則對選項進行逐一驗證即可．
因為a+b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
所以（a+b）•（a-b）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0
可得（a+b）⊥（a-b）  故A對．
又因為cos＜a，b＞=

a•b

|a||b|

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
＜a，b＞=|α-β|，故B不對
得到答案．

解答：解：∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）
∴a+b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
（a+b）•（a-b）=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）=0
∴（a+b）⊥（a-b）  故A對．
cos＜a，b＞=

a•b

|a||b|

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
∴＜a，b＞=|α-β|，故B不對
故選B．

點評：本題主要考查向量數量積的運算．要明確兩向量互相垂直時，二者的數量積等于0．