Question

（2012•安徽模擬）已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，滿足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知結合二倍角公式可得4cos²B-8cosB+3=0，解方程可求cosB，結合0＜B＜π，可求B
（2）法一：把a+c=2b，代入cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2- (a+c)2 4

2ac

可得a=c，結合（1）中的B可求
    法二：由正弦定理及a+c=2b，可得sinA+sinC=2sinB=2sin

π

3

，即sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

，可求A，C，從而可求面積

解答：解：（1）∵2cos2B=8cosB-5，
∴2（2cos²B-1）-8cosB+5=0．
∴4cos²B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=

1

2

或cosB=

3

2

（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．…（6分）
（2）法一：∵a+c=2b．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2- (a+c)2 4

2ac

=

1

2

化簡得a²+c²-2ac=0，解得a=c．
∴△ABC是邊長為2的等邊三角形．
∴△ABC的面積等于

3

…（12分）
法二：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB=2sin

π

3

=

3

．
∴sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

，
∴sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA=

3

．
化簡得

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

，∴sin（A+

π

6

）=1．
∵0＜A＜π，∴A+

π

6

=

π

2

．
∴A=

π

3

，C=

π

3

，又∵a=2
∴△ABC是邊長為2的等邊三角形．
∴△ABC的面積等于

3

．…（12分）

點評：本題主要考查了二倍角公式、及由三角函數值求解角，解三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等公式的綜合應用．