Question

【題目】已知的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，，且的面積為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）點是橢圓上任意一點，分別是橢圓的左、右頂點，直線與直線分別交于兩點，試證：以為直徑的圓交軸于定點，并求該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，或.

【解析】

試題分析：(1)由三角形的面積得，由余弦定理得，結合橢圓的定義可得橢圓的標準方程；（2）求出、的坐標，設，寫出，的方程，并求出其與的交點的坐標，再設以為直徑的圓交軸于點，則，從而，可解出，從而問題得以解決.

試題解析：（1）因為，所以，.

由題意得，解得.

從而，結合，得，

故橢圓的方程為.

（2）由（1）得，，

設，則直線的方程為，

它與直線的交點的坐標為，

直線的方程為，它與直線的交點的坐標為，

再設以為直徑的圓交軸于點，則，從而，即

，即，解得.

故以為直徑的圓交軸于定點，該定點的坐標為或.