Question

梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=2，CD=1，P是腰AD所在直線上任意一點，則|3

PC

+2

PD

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用

分析：以A為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=m，D（

1

2

m，

3

2

m），C（1+

1

2

m，

3

2

m），
P（t，

3

t），求出向量PC，PD的坐標(biāo)，令

1

2

m-t=k，最后根據(jù)模的公式求出關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．

解答： 解：以A為坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，
建立如圖的直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=m，D（

1

2

m，

3

2

m），C（1+

1

2

m，

3

2

m），
P（t，

3

t），
則

PC

=（1+

1

2

m-t，

3

2

m-

3

t），

PD

=（

1

2

m-t，

3

2

m-

3

t），
令

1

2

m-t=k，則

PC

=（1+k，

3

k），

PD

=（k，

3

k）
則有|3

PC

+2

PD

|=|（3+5k，5

3

k）|=

(3+5k)2+75k2

=

100k2+30k+9

≥

4×100×9-302 4×100

=

3 3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=-

3

20

，時，取得最小值

3 3

2

．
故答案為：

3 3

2

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查坐標(biāo)法解題的方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．