Question

已知函數(shù)

（I）求函數(shù)的最小值；

（II）對(duì)于函數(shù)和定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),使得不等式和都成立,則稱直線是函數(shù)和的“分界線”．

設(shè)函數(shù)，，試問函數(shù)和是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程．若不存在請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）函數(shù)和存在“分界線”，方程為．

【解析】

試題分析：（I）首先求函數(shù)的定義域，解方程得可能的極值點(diǎn)，進(jìn)一步得的單調(diào)性，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)附近的變號(hào)情況求的最小值；（II）函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn).設(shè)函數(shù)和存在“分界線”，方程為，由對(duì)任意恒成立，確定常數(shù)，從而得“分界線”的方程為，再證明在時(shí)也恒成立，最后確定函數(shù)和的“分界線”就是直線．

試題解析：（I）         

令得，

所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，      

所以．      

（II）由，可知函數(shù)和的圖象在處由公共點(diǎn).    

設(shè)函數(shù)和存在“分界線”，方程為，

應(yīng)有在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，

于是，得，

則“分界線”的方程為   

記，則

令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，

即在時(shí)恒成立.        

綜上所述，函數(shù)和存在“分界線”，方程為        

考點(diǎn)：1、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值（最值）；2、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．