Question

【題目】（題文）（江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數學試題）已知等差數列{an}和等比數列{bn}均不是常數列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比數列， 4b2，2b3，b4成等差數列．

（1）求{an}和{bn}的通項公式；

（2）設m，n是正整數，若存在正整數i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差數列，求m＋n的最小值；

（3）令cn＝，記{cn}的前n項和為Tn，{ }的前n項和為An．若數列{pn}滿足p1＝c1，且對n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，設{pn}的前n項和為Sn，求證：Sn＜4＋4lnn．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 （3）見解析

【解析】分析：（1）設等差數列的公差為d（d≠0），等比數列在公比為q（q≠1）根據等差等比的通項公式化為首項和公差公比的關系求出公差公比記得到通項；（2）由ambj，amanbi，anbk成等差數列，有， 即 ，化簡得， 可得 ， 即，然后結合m，n進行討論求值即可；（3）結合錯位相減法求和，在結合函數的思維構造不等式可得結論.

解：（1）設等差數列的公差為d（d≠0），等比數列在公比為q（q≠1），由題意得：

解得d＝1，q＝2，

所以.

（2）由ambj，amanbi，anbk成等差數列，

有，

即 ，

由于，且為正整數，所以，

所以，

可得 ， 即，

①當1≤m≤2時，不等式不成立；

②當 或 時 成立；

③當時，，，即，則有；

所以的最小值為6，

當且僅當，且 或 時取得．

（3）由題意得：

（1）

（2）

（1）—（2）得

，

求得 ，

所以 ，

設，則，

所以 在上單調遞增，有，

可得 .

當，且N*時，，

有 ，

所以，

可得，

所以.