Question

（2009•黃浦區二模）已知三棱錐P-ABC的棱長都是2，點D是棱AP上不同于P的點．
（1）試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線．
（2）求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC．

Answer 1

分析：（1）假設BD與CP不是異面直線，即BD與CP都在平面α上，從而可得出點A、B、C、P都在平面α上，這與P-ABC是三棱錐矛盾，故假設不成立，得證；
（2）求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC．選△ABC為底，故關鍵是求出底面上的高，為此利用底面三角形是正三角形，可求．

解答：解：（1）證明：（反證法）假設BD與CP不是異面直線．（2分）
設BD與CP都在平面α上．∵P∈α，D∈α，∴PD?α．又A∈PD，∴A∈α．
∴點A、B、C、P都在平面α上，這與P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾，于是，假設不成立．（5分）
所以直線BD與CP是異面直線．（6分）
（2）設錐頂點P在底面的射影為O．∵P-ABC的棱長都是2，∴△ABC是正三角形．
∴AO=BO=CO(=

PA2-PO2

)，
即O為底面三角形的中心，因此P-ABC為正三棱錐．連接BO并延長交AC于E，則BE⊥AC．
∵AB=BC=AC=PB=2，∴BE=ABsin60°=

3

．　　　　　　　　　　（8分）
∴BO=

2 3

3

，進一步可得PO=

PB2-BO2

=

4- 4 3

=

2 6

3

．　　 　（10分）
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC•PO
=

1

3

•

2 6

3

•

1

2

•2•2•sin60°
=

2 2

3

．                        　　 　　 　　　 　 　（12分）

點評：本題的考點是反證法，主要考查反證法證明異面直線問題，關鍵是利用反證法的步驟，恰當反設，通過推理論證引出矛盾，考查三棱錐體積的計算，關鍵是選好底面，求出高．