Question

設(shè)P：關(guān)于x的不等式2^|x|＜a的解集為∅，Q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式2^|x|＜a，我們可以求出使命題P為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及二次函數(shù)恒成立的充要條件，我們易求出命題Q為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)P和Q有且僅有一個(gè)正確，分P真Q假或者P假Q(mào)真兩種情況討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：若P：關(guān)于x的不等式2^|x|＜a的解集為∅，為真命題
則a≤1---------------4分
若Q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽，即ax²-x+a＞0恒成立
即

a＞0 △=1-4a2＜0

解得a＞

1

2

------------------------8分
∵P和Q有且僅有一個(gè)正確
∴P真Q假或者P假Q(mào)真------------------9分
ⅰ：若P真Q假，則a≤

1

2

ⅱ：若P假Q(mào)真，則a＞1-----------------------------------------13分
綜上可得，所求a的取值范圍為（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）------------------------14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中根據(jù)解指數(shù)形式，求出命題P為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及二次函數(shù)恒成立的充要條件求出命題Q為真時(shí)，參數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．