Question

【題目】已知a，b，c分別是△ABC內角A，B，C的對邊，函數f(x)＝3＋2sin xcos x＋2cos2x且f(A)＝5.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，求△ABC面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據二倍角公式以及配角公式將函數化為基本三角函數，再解簡單三角方程得角A（2）先根據余弦定理得4＝b2＋c2－bc，再利用基本不等式得bc最大值，根據三角形面積公式即得△ABC面積的最大值.

試題解析：(1)由題意可得：f(A)＝3＋2sin Acos A＋2cos2A＝5，

∴2sin Acos A＝2(1－cos2A)，

∴sin A(cos A－sin A)＝0，

∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，

∴sin A＝cos A，即tan A＝，A＝.

(2)由余弦定理可得：

4＝b2＋c2－2bccos，

4＝b2＋c2－bc≥bc(當且僅當b＝c＝2時“＝”成立)，

∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤×4＝，

故△ABC面積的最大值是.