Question

雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的兩條準線間距離為3，右焦點到直線x+y-1=0的距離為

2

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C中是否存在以點P(1，

1

2

)為中點的弦，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知設右焦點（c，0），則c²=a²+b²，由已知：

2• a2 c =3 d= |c-1 2 = 2 2

，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）假設存在以P為中點的弦AB．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：

x 2 1 3 - y 2 1 =1 x 2 2 3 - y 2 2 =1

，再由韋達定理和根的判別式能推導出不存在以P為中點的弦．

解答：解：（1）由已知設右焦點（c，0），則c²=a²+b²
由已知：

2• a2 c =3 d= |c-1 2 = 2 2

∴a=

3

b=1c=2
∴雙曲線C的方程為：

x2

3

-y2=1
（2）假設存在以P為中點的弦AB．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則：

x 2 1 3 - y 2 1 =1 x 2 2 3 - y 2 2 =1

∴

x 2 1 - x 2 2

3

-(

y

2 1

-

y

2 2

)=0
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

(x1+x2)

3(y1+y2)

∵P為中點
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=1
∴kAB=

2

3

∴此時直線AB：y-

1

2

=

2

3

(x-1)即y=

2

3

x-

1

6

聯立AB與雙曲線方程有：

y= 2 3 x- 1 6 x2 3 -y2=1

代簡得：4x²-8x+37=0
∵△=8²-4×4×37＜0
∴無解．
故不存在以P為中點的弦．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．