Question

某商場共五層，從五層下到四層有3個出口，從三層下到二層有4個出口，從二層下到一層有4個出口，從一層走出商場有6個出口．安全部門在每層安排了一名警員值班，負責該層的安保工作．假設每名警員到該層各出口處的時間相等，某罪犯在五樓犯案后，欲逃出商場，各警員同時接到指令，選擇一個出口進行圍堵．逃犯在每層選擇出口是等可能的．已知他被三樓警員抓獲的概率為

1

9

．
（Ⅰ）問四層下到三層有幾個出口？
（Ⅱ）天網恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最終落入法網．設抓到逃犯時，他已下了ξ層樓，寫出ξ的分布列，并求Eξ．

Answer 1

分析：（I）設四層下到三層有n個出口，恰好被三樓的警員抓獲，說明五層及四層的警員均沒有與他相遇，則在第5層，4層，3層分別被同層警員抓獲的概率分別為

1

3

，

1

n

，

1

4

，于是可得(1-

1

3

)(1-

1

n

)×

1

4

=

1

9

，解得n即可．
（II）ξ可能取值為0，1，2，3，4，5．則P（ξ=0）=

1

3

，P（ξ=1）=(1-

1

2

)×

1

3

，P（ξ=2）=(1-

1

3

)×(1-

1

3

)×

1

4

，P（ξ=3）=(1-

1

3

)×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)×

1

4

，P（ξ=4）=(1-

1

3

)×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)×(1-

1

4

)×

1

6

，利用分布列的性質可得P（ξ=5）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）即可得出分布列和數學期望．

解答：解：（I）設四層下到三層有n個出口，恰好被三樓的警員抓獲，說明五層及四層的警員均沒有與他相遇．
∴(1-

1

3

)(1-

1

n

)×

1

4

=

1

9

，解得n=3．
（II）ξ可能取值為0，1，2，3，4，5．
p(ξ=0)=

1

3

，p(ξ=1)=(1-

1

3

)×

1

3

=

2

9

，p(ξ=2)=(1-

1

3

)(1-

1

3

)×

1

4

=

1

9

；p(ξ=3)=(1-

1

3

)(1-

1

3

)(1-

1

4

)×

1

4

=

1

12

，p(ξ=4)=(1-

1

3

)(1-

1

3

)(1-

1

4

)(1-

1

4

)×

1

6

=

1

24

，p(ξ=5)=1-

1

3

-

2

9

-

1

9

-

1

12

-

1

24

=

5

24

所以分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
p	1 3	2 9	1 9	1 12	1 24	5 24

Eξ=0×

1

3

+1×

2

9

+2×

1

9

+3×

1

12

+4×

1

24

+5×

5

24

=

137

72

．

點評：本題考查了相互獨立事件和對立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識與基本方法，屬于難題．