Question

如圖，在四面體ABCD中，二面角A-CD-B的平面角為60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，點E、F分別是AD、BC的中點．
（Ⅰ）求作平面α，使EF?α，且AC∥平面α，BD∥平面α；
（Ⅱ）求證：EF⊥平面BCD．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取DC的中點G，連接EG，FG，則平面EFG即所做平面α，利用三角形的中位線證明AC∥EG，BD∥FG，即可證得AC∥平面α，BD∥平面α；
（Ⅱ）證明CD⊥平面EFG，可得∠EGF為二面角A-CD-B的平面角，在△EGF中，由余弦定理得EF=FG，從而可得∠EFG=90°，進而可知EF⊥平面BCD．
解答：證明：（Ⅰ）取DC的中點G，連接EG，FG，則平面EFG即所做平面α
∵點E、F分別是AD、BC的中點，
∴EG，FG分別為△ACD，△BCD的中位線，
∴AC∥EG，BD∥FG
∵AC?平面α，BD?平面α，EG?平面α，FG?平面α
∴AC∥平面α，BD∥平面α．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC∥EG，BD∥FG，
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴EG⊥CD，FG⊥CD．
∵EG∩FG=G．
∴CD⊥平面EFG
∵EF?平面EFG
∴CD⊥EF
可知∠EGF為二面角A-CD-B的平面角，∠EGF=60°．
在△EGF中，EG=2FG，∠EGF=60°，由余弦定理得EF=FG，
又由正弦定理得∠EFG=90°
∵GF∩CD=G，GF?面BCD
∴EF⊥平面BCD．
點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，解題的關鍵是掌握線面平行、線面垂直的判定方法，屬于中檔題．