Question

（2013•廣州三模）已知等比數列{a_n}的公比q≠1，a₁=32，且2a₂、3a₃、4a₄成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，求數列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得2a₂+4a₄=6a₃，結合等比數列的通項公式可得a₁q+2a₁q³=3a₁q²．解方程可求首項a₁，公比q，進而可求通項
（2）由（1）可求a_n=2^6-n，b_n=log₂2^6-n=6-n．則有|bn|=|6-n|=

6-n  1≤n≤6 n-6  n≥7.

，從而分1≤n≤6及n≥7兩種情況分別對數列進行求和即可

解答：解：（1）因為2a₂、3a₃、4a₄成等差數列，
所以2a₂+4a₄=6a₃，即a₁q+2a₁q³=3a₁q²．
因為a₁≠0，q≠0，所以2q²-3q+1=0，即（q-1）（2q-1）=0．
因為q≠1，所以q=

1

2

．所以an=a1qn-1=32×(

1

2

)n-1=26-n．
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2^6-n（n∈N^*）．
（2）因為a_n=2^6-n，所以b_n=log₂2^6-n=6-n．
所以|bn|=|6-n|=

6-n  1≤n≤6 n-6  n≥7.

當1≤n≤6時，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=b₁+b₂+…+b_n=

n×[5+(6-n)]

2

=-

1

2

n2+

11

2

n；
當n≥7時，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=（b₁+b₂+…+b₆）-（b₇+b₈+…+b_n）=2（b₁+b₂+…+b₆）-（b₁+b₂+…+b_n）=2×15-(-

1

2

n2+

11

2

n)=

1

2

n2-

11

2

n+30．
綜上所述，Tn=

- 1 2 n2+ 11 2 n      1≤n≤6 1 2 n2- 11 2 n+30  n≥7.

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列綜合的基本運算，這是數列部分最基本的類型考查，而（2）的關鍵是要對n分類討論，求解的關鍵還是等差數列的求和公式．