Question

【題目】已知點為圓心的圓與軸交于與軸交與，其中為原點.

（1）求證：的面積為定值；

（2）設直線與圓交于點，若，求圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） .

【解析】試題分析：（1）求出半徑，寫出圓的方程,再解出的坐標,利用直角三角形面積公式用表示出面積，消去即可；(2)由,可得垂直平分線段,求出的斜率，可得出的方程，解出的值，直線與圓交于點，判斷是否符合要求，即可得圓的方程.

試題解析：∵圓C過原點O，∴r2＝t2＋． 設圓C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t．∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，即△OAB的面積為定值．

(2)解　∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分線段MN．∵kMN＝－2，∴kOC＝．

∴直線OC的方程是y＝x．∴＝t．解得t＝2或t＝－2．

當t＝2時，圓心C的坐標為(2,1)，OC＝，此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝，

圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點．當t＝－2時，圓心C的坐標為(－2，－1)，OC＝，

此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝，圓C與直線y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合題意，舍去．∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5．